Denne "malen" for induksjonsbevis vil i prinsippet gjelde for alle problemer, dog vil det kunne oppstå ulike vanskeligheter for de spesifikke variasjonene, men disse er av "algebraisk" karakter. For å bli fortrolig med induksjon er man nødt til å regne gjennom en del eksempler.

Her ser vi på hvordan vi kan gjennomføre induksjonsbevis for effektivt å kunne bevise påstander. I matematikken snakker vi både om induktive definisjoner og induktive bevis ( induksjonsbevis, bevis ved fullstendig induksjon). En av de enkleste bevisformene er uttømmende bevis, der vi viser at en påstand er riktig ved å undersøke alle muligheter som inngår i påstanden. Hvis et uttømmende bevis ikke undersøker alle muligheter, er det ugyldig.

Det er en vanlig feil å tro at en har bevist en påstand ved å ramse opp noen eksempler på at den er riktig. See full list on nkhansen.

Det er altså ikke nok å bare sjekke en del av mulighetene som inngår for å bevise at en påstand er riktig. Derimot er det nok med ett enkelt moteksempelfor å bevise at en påstand er uriktig, altså motbevise den.

Oppgave 2: Bevis at følgende påstand er uriktig: Alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primfaktorer. Moteksempel: er et primtall, men ikke et oddetall. Påstanden i eksempel 6 er gyldig for alle andre primtall enn 2. Det finnes altså uendelig mange tall den er riktig for, men bare ett den ikke er riktig for. Allikevel betyr dette ene moteksempelet at påstanden er uriktig.

Med en liten modifikasjon blir imidlertid påstanden riktig: “Alle primtall unntatt er oddetall”. Hvis det for eksempel er 1duer i et dueslag med 1seksjoner, må det finnes seksjoner med mer enn due. Oppgave 3: Vi roter etter sokker innerst i klesskapet, der det ligger forskjellige par.

Hvor mange må vi rote fram for å være sikre på å ha to like? Vi har to påstander, A og B. Hvis A medfører B, konkluderer et kontrapositivt bevismed at ikke-B medfører ikke-A.

Her medfører påstand A (en sau tilhører Ola Oppigarden) påstand B (sauen er svart). Påstand ikke-B (en sau er ikke svart) medfører da ikke-A (sauen tilhører ikke Ola Oppigarden). Eksempel 8: Alle sauene til Ola Oppigarden er svarte.

Det er imidlertid ikke slik at hvis A medfører B, vil B medføre A. Men hvis vi ser en sau som er svart (påstand B), trenger den ikke tilhøre Ola Oppigarden (påstand A). Et kontrapositivt bevis sier da at hvis 2n – ikke er et sammensatt tall (påstand ikke-B), er nikke et sammensatt tall (påstand ikke-A). Ikke sammensatt tall” er det samme som “primtal. Hvis vi skal bevise en påstand der vi ikke kan bruke et uttømmende bevis, kan et algebraisk bevis være et alternativ.

I et algebraisk bevis bruker vi i stedet for tall symboler som er allmenngyldige. Vi ser at uansett hvilken verdi a representerer, blir summen tre ganger denne verdien.

I et bevis ved selvmotsigelseantar vi at det motsatte av det vi skal bevise er riktig, og demonstrerer at dette fører til en selvmotsigelse. Denne prosessen kalles også “reductio ad absurdum”.

Bevis: Vi antar det motsatte, at det faktisk finne to slike tall, og viser at dette fører til en selvmotsigelse. Et induksjonsbevis brukes typisk i forbindelse med påstander om heltall, og går i to trinn. Vi tar utgangspunkt i en påstan U(n), som gjelder for alle n ≥ n0.

Denne logikken kan vi følge videre mot uendelig, og påstanden er derfor bevist for alle n ≥ n0. Formelen vi skal bevise.

Derivasjon har ekstremt mange anvendelser innenfor matematikk, og deriverte funksjoner dukker opp innenfor alle realfagene. Innholdsfortegnelse: Definisjonen av den deriverte gitt som en grenseverdi Regneregler for deriverte Derivasjonsregler for en del spesielle funksjoner Sekantsetningen (middelverdisetningen) og teoremet om kritiske punkt Implisitt derivasjon Koblede hastigheter Ubestemte.

Se også vår side om Derivasjon. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste derivasjonsreglene for funksjoner med en variabel.

Definisjon Den deriverte av en funksjon beskriver hastigheten funksjonene forandrer seg me med hensyn på en uavhengig variabel. Trigonometriske likninger, 2. Vektor produkt og romgeometri, 5. Integralregning og integrasjonsmetoder, 7. Skriv et svar til: Induksjonsbevis ut fra Pascals talltrekant. Du må være pålogget for å skrive et svar til dette spørsmålet.

Klikk her for å logge inn. Har du ikke en bruker på Skolediskusjon. Denne videosnutten gir en innføring i induksjonsjonsbevis. Snutten er delt inn i fem tavler: Tavle (0): Illustrerer hvordan man bli inspirert til et induksjonsbevis gjennom å observere et mønster, i dette tilfellet at den deriverte til xn alltid er nxn-1.

Tavle (6): Beviser formelen i tavle ved induksjon. Temaet er viktig i de fleste matematikkurs, og vi har laget en egen snutt for dem som trenger litt ekstra påfyll. Induksjon: Denne snutten gir en innføring i induksjon basert på det samme eksemplet som i seksjon 1. Rer obligatorisk for deg som ønsker å kunne studere til ingeniør.

Faget egner seg også for deg som vil arbeide videre med matematikk på områder innenfor naturvitenskap, teknologi og datafag.