Det første vi gjør er å verifisere at formelen gjelder for spesialtilfell et $n=1$. Denne bevistypen bygger på induksjonsaksiomet. Et aksiom er en grunnleggende setning som er selvinnlysende og godtas uten bevis.

Et detaljert induksjonsbevis Knut M˝rken 20. En metode til å bevise en påstand P ( n) der det inngår et positivt heltall n. Matematisk induksjon.

Følgende to skritt må gjennomføres: Bevis påstanden for n =1. Siden vi vet fra 1. P (1) kan vi ved hjelp. Vi kan fortsette a regne ut f(5), f(6), f(7) osv. Enjoy the videos and music you love, upload original content, and share it all with friends, family, and the world on.

Et induksjonsbevis bygger alltid på en forutgående induktiv definisjon, og har bare gyldighet da. De naturlige tall defineres som den minste mengde som inneholder.

En av de enkleste bevisformene er uttømmende bevis, der vi viser at en påstand er riktig ved å undersøke alle muligheter som inngår i påstanden. Hvis et uttømmende bevis ikke undersøker alle muligheter, er det ugyldig. Det er en vanlig feil å tro at en har bevist en påstand ved å ramse opp noen eksempler på at den er riktig. See full list on nkhansen.

Det er altså ikke nok å bare sjekke en del av mulighetene som inngår for å bevise at en påstand er riktig. Derimot er det nok med ett enkelt moteksempelfor å bevise at en påstand er uriktig, altså motbevise den.

Oppgave 2: Bevis at følgende påstand er uriktig: Alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primfaktorer. Moteksempel: er et primtall, men ikke et oddetall.

Påstanden i eksempel 6 er gyldig for alle andre primtall enn 2. Det finnes altså uendelig mange tall den er riktig for, men bare ett den ikke er riktig for. Allikevel betyr dette ene moteksempelet at påstanden er uriktig.

Med en liten modifikasjon blir imidlertid påstanden riktig: “Alle primtall unntatt er oddetall”. Hvis det for eksempel er 1duer i et dueslag med 1seksjoner, må det finnes seksjoner med mer enn due. Oppgave 3: Vi roter etter sokker innerst i klesskapet, der det ligger forskjellige par.

Hvor mange må vi rote fram for å være sikre på å ha to like? Vi har to påstander, A og B. Hvis A medfører B, konkluderer et kontrapositivt bevismed at ikke-B medfører ikke-A.

Her medfører påstand A (en sau tilhører Ola Oppigarden) påstand B (sauen er svart). Påstand ikke-B (en sau er ikke svart) medfører da ikke-A (sauen tilhører ikke Ola Oppigarden). Det er imidlertid ikke slik at hvis A medfører B, vil B medføre A. Eksempel 8: Alle sauene til Ola Oppigarden er svarte.

Men hvis vi ser en sau som er svart (påstand B), trenger den ikke tilhøre Ola Oppigarden (påstand A). Et kontrapositivt bevis sier da at hvis 2n – ikke er et sammensatt tall (påstand ikke-B), er nikke et sammensatt tall (påstand ikke-A).

Ikke sammensatt tall” er det samme som “primtal. Hvis vi skal bevise en påstand der vi ikke kan bruke et uttømmende bevis, kan et algebraisk bevis være et alternativ.

I et algebraisk bevis bruker vi i stedet for tall symboler som er allmenngyldige. Vi ser at uansett hvilken verdi a representerer, blir summen tre ganger denne verdien. I et bevis ved selvmotsigelseantar vi at det motsatte av det vi skal bevise er riktig, og demonstrerer at dette fører til en selvmotsigelse. Denne prosessen kalles også “reductio ad absurdum”.

Bevis: Vi antar det motsatte, at det faktisk finne to slike tall, og viser at dette fører til en selvmotsigelse. Vi tar utgangspunkt i en påstan U(n), som gjelder for alle n ≥ n0.

Denne logikken kan vi følge videre mot uendelig, og påstanden er derfor bevist for alle n ≥ n0. Formelen vi skal bevise. Dette er et eksempel på et direkte bevis, men det er også et eksempel på det som kalles et induksjonsbevis.

Kjennetegnet for et induksjonsbevis er at dersom noe gjelder for et bestemt helt tall, og det samme alltid gjelder for tallet som er større, så vil resultatet gjelde for absolutt alle hele tall (fra og med det tallet vi begynte med). La P(n) være påstanden at går opp i (n– n) for alle n ≥ 1. For å bli fortrolig med induksjon er man nødt til å regne gjennom en del eksempler. Induksjonsbevis – matematikk. Vi skal bruke induksjon til å vise at ledd nummer.

This video is unavailable. I video R2-1tar vi et par litt mer komplekse eksempler på induksjonsbevis. Browser konfigurerings fejl.